Tendencia central: significado, usos y medidas

Tendencia central: significado, usos y medidas!

Significado de la Tendencia Central:

Las medidas de tendencia central son una combinación de dos palabras, es decir, "medida" y "tendencia central". Medida significa métodos y tendencia central significa valor promedio de cualquier serie estadística. Por lo tanto, podemos decir que la tendencia central significa los métodos para averiguar el valor central o el valor promedio de una serie estadística de información cuantitativa.

JP Guilford ha señalado que "un promedio es un valor central de un grupo de observaciones o individuos".

Según Clark, "El promedio es un intento de encontrar una sola figura para describir toda la figura".

En palabras de AE ​​Waugh "Un promedio es un valor único seleccionado de un grupo de valores para representarlos de la misma manera, un valor que se supone que representa todo el grupo del cual forma parte, como típico de todos los valores en el grupo."

Por lo tanto, se puede decir que una tendencia promedio o central es una figura única que se calcula a partir de una distribución dada para dar una idea central sobre toda la serie. El valor del promedio se encuentra dentro del valor máximo y mínimo de la serie.

Usos de la Tendencia Central:

La tendencia central es necesaria por las siguientes razones:

1. Promedio proporciona la imagen general de la serie. No podemos recordar todos y cada uno de los hechos relacionados con un campo de investigación.

2. El valor promedio proporciona una imagen clara sobre el campo en estudio para orientación y conclusión necesaria.

3. Ofrece una descripción concisa del rendimiento del grupo en su conjunto y nos permite comparar dos o más grupos en términos de rendimiento típico.

Medidas de tendencia central:

Hay tres medidas de tendencia central, tales como:

(1) La media aritmética.

(2) La mediana y

(3) El modo.

(1) La media (M):

Para un hombre común, promedio significa la media aritmética. Se utiliza más popularmente debido a su simplicidad, rigidez, etc.

Un promedio aritmético se define como el "cociente obtenido al dividir el total de los valores de una variable por el número total de sus observaciones u objetos".

II.E. Garett (1985 P) define "La media aritmética o más simplemente la media es la suma de las puntuaciones o medidas separadas divididas por su número".

Métodos de cálculo de la media:

Hay varios métodos para calcular la media. Pero aquí vamos a discutir sólo dos métodos.

Son los siguientes:

1. Método directo o método largo.

2. Método corto o método de la media supuesta.

1. Método directo o método largo:

En este método, la media se calcula directamente a partir de la serie dada. En este método podemos calcular la media a partir de los datos no agrupados y la fórmula para calcular la media a partir de datos no agrupados.

La fórmula para calcular la media a partir de datos no agrupados es:

A partir de los datos agrupados, la media se calcula mediante la siguiente fórmula:

Ilustración:

Calcule la media a partir de las siguientes distribuciones de frecuencia por método directo:

2. Método corto o método medio supuesto:

Se conoce como método de media supuesta porque, en lugar de calcular la media a partir de los puntos medios, tomamos la media supuesta para averiguar la media. Primero 'adivinamos' o asumimos una media y luego aplicamos una corrección a este valor supuesto para encontrar el valor exacto.

La fórmula para averiguar la media en el método de media supuesta se da a continuación:

A continuación se discuten los pasos para calcular la media en el método corto:

Paso 1:

Asume cualquier punto medio de la distribución como media. Pero el mejor plan es tomar el punto medio de un intervalo cerca del centro que tiene la mayor frecuencia.

Paso 2:

Averigüe la columna x ', x' es la desviación entre la puntuación y la media supuesta.

Aquí podemos encontrar x 'usando la siguiente fórmula:

Paso 3:

Averigüe la columna fx . Se encuentra multiplicando la columna f por la columna x '.

Etapa 4:

Descubrir ∑ f x. Agregue todos los valores positivos y los valores negativos por separado. Luego encuentra la suma algebraica que es ∑ f x.

Paso — 5:

Encuentra la media usando la fórmula 9.4.

Ilustración:

Averigüe la media de la distribución en el método de media supuesta.

En un examen de matemáticas se han presentado las calificaciones de los 50 alumnos en la siguiente distribución:

Aquí hemos tomado 44.5 el punto medio de Ci 40—49 como media supuesta. Ahora podemos averiguar la media usando la fórmula — 8.4.

Media Combinada:

Las medias separadas de un número de series diferentes pueden producir la media aritmética combinada de todas las series diferentes cuando se da el número de elementos en cada una de dichas series. Esto se calcula mediante la siguiente fórmula cuando el número de grupos es n.

Ilustración:

A continuación se da la media de los estudiantes de clase VI de 4 escuelas. ¿Cuál es la media de los estudiantes de la clase VI en general?

Podemos averiguar la media combinada aplicando la fórmula 9.5:

Así que la media de todos los estudiantes de la clase VI es 55.25.

Usos de la media:

Hay ciertas reglas generales para usar la media. Algunos de estos usos son los siguientes:

1. La media es el centro de gravedad en la distribución y cada puntuación contribuye a su determinación cuando la distribución de las puntuaciones es simétrica alrededor de un punto central.

2. La media es más estable que la mediana y el modo. De modo que cuando se quiere medir la tendencia central con mayor estabilidad, se usa la media.

3. La media se utiliza para calcular otras estadísticas como SD, coeficiente de correlación, ANOVA, ANCOVA, etc.

Méritos de la media:

1. La media está rígidamente definida, de modo que no se trata de malentendidos sobre su significado y naturaleza.

2. Es la tendencia central más popular, ya que es fácil de entender.

3. Es fácil de calcular.

4. Incluye todas las puntuaciones de una distribución.

5. No se ve afectado por el muestreo, por lo que el resultado es confiable.

6. La media es capaz de un tratamiento algebraico adicional, por lo que otras estadísticas diferentes como la dispersión, la correlación y la asimetría requieren una media para el cálculo.

Deméritos de la media:

1. La media se ve afectada por puntajes extremos.

2. A veces, la media es un valor que no está presente en la serie.

3. A veces da valores absurdos. Por ejemplo, hay 41, 44 y 42 estudiantes en la clase VIII, IX y X de una escuela. Así que el promedio de estudiantes por clase es de 42.33. Nunca es posible.

4. En el caso de intervalos de clase abiertos, no se puede calcular sin asumir el tamaño de las clases abiertas.

(2) Mediana:

La mediana es otra medida de tendencia central. Es un promedio posicional porque su valor se determina con referencia a su posición en la columna de valores de una serie. En el Collins Dictionary of Statistics, se define como "el valor medio en una distribución, por debajo y por encima del cual se encuentran los valores con frecuencias o probabilidades totales iguales".

D. Patri (1996) define la mediana "como el valor del elemento central de una serie organizada en orden ascendente o descendente. Como tal, divide una serie en dos partes iguales ".

La mediana puede definirse como un punto en la distribución por debajo del cual se encuentran los casos del cincuenta por ciento y por encima del cual se encuentran los casos del cincuenta por ciento.

Cálculo de la mediana a partir de datos no agrupados:

En caso de datos no agrupados, las puntuaciones se ordenan por tamaño. Luego se descubre el punto medio, que es la mediana. En este proceso surgen dos situaciones en el cálculo de la mediana, (a) N es impar (b) N es par. Primero, discutiremos cómo calcular la mediana (Mdn) cuando N es impar.

Ilustración:

En una clase 9, los estudiantes han obtenido las siguientes marcas en una prueba de vocabulario. Descubre la mediana.

Marcas — 6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9

En datos desagrupados

Discutamos cómo calcular Mdn cuando N es par.

Ilustración:

Calcule el Mdn de los siguientes datos de 10 estudiantes de una prueba de ortografía en inglés.

Marcas = 7, 6, 8, 12, 7. 9, 11, 10, 13, 14

Para resolver el problema tenemos que arreglar en orden de tamaño.

6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

Ahora aplicando la fórmula 8.6 obtenemos;

Cálculo de la mediana a partir de datos agrupados:

Sabemos que la mediana es un punto que distribuye la distribución en dos mitades iguales.

La fórmula para averiguar la mediana de los datos agrupados se lee como sigue:

Donde L = Límite inferior de la clase media.

La clase mediana es aquella clase cuya frecuencia acumulada es mayor que el valor de N / 2, es decir, N / 2> cf (frecuencia acumulada)

N / 2 = La mitad del número total de puntajes.

F = Frecuencia acumulada de la clase interna por debajo de la clase media.

fm = Frecuencia de la clase media.

i = Tamaño de las clases internas.

Pasos para calcular mdn a partir de datos agrupados:

Paso 1.

Calcular N / 2 es decir, 50% de la distribución.

Paso 2:

Calcule la frecuencia acumulada de la distribución desde el extremo inferior.

Paso 3:

Descubre la clase mdn. La frecuencia acumulada del intervalo de clase donde N / 2> cf

Etapa 4:

Averigüe F la frecuencia acumulada debajo de la clase mdn.

Paso — 5:

Descúbrelo f _m . y poner todos los valores en fórmula.

Ilustración:

Descubre la mediana de la distribución.

A continuación se dan las puntuaciones de 40 estudiantes en un examen de matemáticas:

L = 59.5. Debido a que N / 2, es decir, 20 se incluye en la frecuencia acumulativa del intervalo de clase 60-61, y los límites exactos de Ci = 59.5-61.5.

F = 17. La frecuencia acumulada por debajo de la clase mdn.

fm = 7. La frecuencia exacta de la clase mdn.

i = 2. Tamaño del intervalo de clase.

Ahora poniendo el valor en la fórmula

El Mdn de la distribución es 60.63.

Mdn también se puede calcular desde el límite superior de la distribución. La fórmula para descubrir mdn tomando los límites superiores se lee así.

Donde U = El límite superior de la clase Mdn.

F ₁ = La frecuencia acumulada del intervalo de clase por encima de la clase Mdn.

fm = Frecuencia de la clase media.

i = Tamaño del intervalo de clase.

Pasos:

En el caso de calcular Mdn desde el límite superior, la única diferencia es que tenemos que calcular la frecuencia acumulada desde el extremo superior.

Ilustración:

U = 61.5. Porque la frecuencia acumulativa 23 incluye el N / 2, es decir, 20.

F = 16. Frecuencia acumulada del intervalo de clase por encima de la clase Mdn.

fm = 7 frecuencia de la clase media.

i = 2

El Mdn es 60.36.

También hay algunos casos excepcionales de computación mediana. Estos son cuando la distribución de frecuencia contiene brechas y cuando los intervalos de clase están abiertos. En primer lugar, discutiremos cuándo hay brechas en la distribución de frecuencias.

Cuando hay 0 frecuencias consecutivas en los intervalos de clase donde se encuentra Mdn, surge la dificultad de encontrar la clase Mdn. En este caso, agregamos los intervalos de frecuencia 0 a los intervalos de clase superiores e inferiores.

La siguiente ilustración explica el proceso claramente:

Ilustración:

Descubre el Mdn de la siguiente serie:

L = 49.5. El límite inferior del Ci donde Ci es mayor que N / 2.

F = 4 Cf del Ci debajo de la clase Mdn

f m = 2. La frecuencia de la clase Mdn.

i = 10. Tamaño del Ci

Poniendo los valores en la fórmula 8.7.

Así que el Mdn de la distribución es 57.

La segunda situación es que, cuando hay intervalos de clase abiertos en ambos extremos. En este caso, los extremos abiertos se pueden mantener abiertos o se pueden convertir en clases específicas. Una ilustración se da a continuación.

Ilustración:

30 estudiantes han obtenido las siguientes marcas en un examen de matemáticas. 4 estudiantes han obtenido por debajo de 10 marcos. 6 estudiantes obtuvieron calificaciones entre 10 y 20, 10 estudiantes entre 20 y 30, 8 estudiantes entre 30 y 40, 7 estudiantes entre 40 y 50 y 3 estudiantes mayores de 50 años. Averigüe el Mdn.

L = 19.5. Límite inferior de la clase Mdn, es decir 20-30.

F = 10. Cf de la Ci debajo de la clase Mdn.

fm = 10

i = 10

Así que Mdn de la distribución es 28.5.

Usos de la mediana:

1. La mediana se utiliza cuando se necesita el punto medio exacto de la distribución o se desea el punto del 50%.

2. Cuando las puntuaciones extremas afectan la media en ese momento, la mediana es la mejor medida de la tendencia central.

3. La mediana se usa cuando se requiere que ciertas puntuaciones afecten la tendencia central, pero todo lo que se sabe sobre ellas es que están por encima o por debajo de la mediana.

4. La mediana se usa cuando las clases son abiertas o es de un tamaño de celda igual.

Méritos de la mediana:

1. Es fácil de computar y entender.

2. Todas las observaciones no son necesarias para su cálculo.

3. Las puntuaciones extremas no afectan a la mediana.

4. Se puede determinar a partir de series abiertas.

5. Se puede determinar a partir de intervalos de clase no iguales.

Deméritos de la mediana:

1. No se define rígidamente como media porque su valor no se puede calcular sino ubicar.

2. No incluye todas las observaciones.

3. No se puede tratar algebraicamente como media.

4. Requiere la disposición de los puntajes o intervalos de clase en orden ascendente o descendente.

5. A veces produce un valor que no se encuentra en la serie.

(3) Modo:

El modo es la puntuación más frecuente en una distribución. Como promedio, representa el valor más típico de una serie que casi coincide con los elementos existentes. Nunca se ve afectado por puntajes extremos, sino por las frecuencias extremas de los valores. Para determinar el modo hay diferentes métodos.

Algunos de los métodos importantes se discuten a continuación:

Métodos para determinar el modo:

1. Método de inspección

2. Método de agrupación

3. Método de relación empírica

1. Método de inspección:

En este método el modo se determina solo por observación. Aquí, el modo se determina observando la puntuación más frecuente o el intervalo de clase en el que se toma la frecuencia máxima como clase modal. Cuando dos de estos valores o intervalos de clase tienen la misma ocurrencia o frecuencia, tanto las puntuaciones como los intervalos de clase se toman como modo '. Y la distribución se llama como una distribución bimodal. Si hay más de dos valores o intervalos de clase, entonces se alía como una distribución multimodal.

2. Método de agrupación:

Cuando la diferencia de valor entre la frecuencia más alta y la siguiente frecuencia más alta es muy baja en ese momento, no es seguro determinar el modo en el método de inspección. En tales casos dudosos se utilizaron métodos de agrupación.

En este método primero se prepara una tabla de agrupación o una declaración de agrupación de las frecuencias. En esta declaración, coloque los valores o clases de valores en la columna de la izquierda y sus frecuencias correspondientes en la siguiente columna. En la siguiente columna (2) agrupa las frecuencias en dos a partir de la primera frecuencia. Luego, en la tercera columna, agrupe las frecuencias en dos a partir de la segunda frecuencia. En la siguiente columna, agrupe las frecuencias en grupos de tres a partir de la primera frecuencia.

En la siguiente columna, agrupe las frecuencias en grupos de tres a partir de la segunda frecuencia. En la última columna agrupa las frecuencias en grupos de tres a partir de la 3ª frecuencia. Una vez que la agrupación haya terminado, identifique la (s) máxima (es) de cada una de las 6 columnas poniendo un círculo.

El siguiente paso es preparar una tabla de análisis para ubicar el valor modal o la clase modal. En esta tabla, los valores modales probables se presentan en la línea horizontal superior debajo de las diferentes columnas y los diferentes números de columna se colocarán a la izquierda de la tabla.

Los valores que muestran las frecuencias máximas agrupadas en la tabla de agrupación se identificarán con una marca en su columna respectiva. El número de dichas marcas puestas bajo las columnas de valor probable se sumará al final de esta tabla. El valor probable que muestra el máximo de dicho total se identificará como el valor modal de la clase modal según sea el caso.

La siguiente ilustración proporcionará una mejor comprensión:

Ilustración:

La tabla de análisis anterior muestra que alrededor del puntaje 60, grupos máximos, es decir, un total de 4. Así que aquí 60 es el valor modal.

Cuando los datos están en la serie continua, podemos calcular el modo aplicando la siguiente fórmula:

Donde M ₀ = Modo

L ₀ = límite inferior de la clase modal

f ₂ = frecuencia de la clase de clase modal sucesiva.

f ₀ = frecuencia de la clase modal anterior a la clase.

i = Tamaño del intervalo de clase.

Ilustración:

A partir de los siguientes datos se determina el modo:

Solución:

Aquí el intervalo de clase 20—25 contiene la frecuencia más alta. Para que pueda ser considerada como la clase modal.

Aquí:

3. Método de relación empírica:

Este es el método más efectivo para determinar el modo. El profesor Karl Pearson ha previsto este método. El profesor Pearson ha descubierto que en una serie moderadamente asimétrica o sesgada existe una relación pertinente entre la media, la mediana y el modo. En tales series, la distancia entre la media y la mediana es 1/3 de la distancia entre la media y el modo.

Ilustración:

Descubre el modo de la distribución dada anteriormente.

Solución:

La media de la distribución es de 25.94.

La mediana de la distribución es 23.83.

M ₀ = 3 Mediana — 2 media

M ₀ = 3 X 23.83—2 x 25.94

= 71.49—51.88

= 19.61 (Aprox.)

Usos del modo:

Se utiliza el modo:

(i) Cuando queremos una medida rápida y aproximada de la tendencia central.

(ii) Cuando queremos una medida de tendencia central que debería ser un valor típico. Por ejemplo, cuando queremos conocer el estilo típico de vestir de las mujeres indias, es decir, el estilo de vestir más popular. Así las marcas medias de una clase se llaman marcas modales.

Méritos del modo:

1. El modo da el valor más representativo de una serie.

2. El modo no se ve afectado por ninguna puntuación extrema como la media.

3. Se puede determinar a partir de un intervalo de clase abierto.

4. Ayuda en el análisis de datos cualitativos.

5. El modo también se puede determinar gráficamente a través de histograma o polígono de frecuencia.

6. El modo es fácil de entender.

Deméritos:

1. El modo no se define rígidamente como media. En ciertos casos puede salir con diferentes resultados.

2. No incluye todas las observaciones de una distribución, sino sobre la concentración de frecuencias de los artículos.

3. El tratamiento algebraico adicional no se puede hacer con el modo como media.

4. En casos multimodales y bimodales es difícil de determinar.

5. El modo no se puede determinar a partir de intervalos de clase desiguales.

6. Hay diferentes métodos y diferentes fórmulas que producen diferentes resultados de modo y, por lo tanto, se señala correctamente como el promedio más mal definido.