Top 2 métodos de ajuste de curvas (con diagrama)
¡Lea este artículo para aprender sobre los métodos de ajuste de curvas gráficos y matemáticos del análisis de frecuencia!
Procedimiento gráfico de ajuste de curva:
En un procedimiento de ajuste de curva gráfica simple, las inundaciones observadas se trazan en un papel de probabilidad y una curva de mejor ajuste dibujada por "ojo" a través de los puntos. El papel de probabilidad log-normal y el papel de probabilidad de valor extremo se usan comúnmente para este propósito.
En el caso del primero, la posición de trazado de la inundación individual de la serie anual se encuentra mediante la fórmula P = ml (n + 1) donde P es la probabilidad de excedencia, m es el orden de magnitud de una inundación dada en una serie de Inundaciones observadas y n el número de años. Si se usa papel de probabilidad de valor extremo, también llamado papel Gumbel, las posiciones de trazado de las inundaciones se encuentran con la fórmula T = (n +1) lm, donde T es el período de retorno en años (Fig. 5.9).
Métodos de ajuste de la curva matemática:
Para evitar los errores subjetivos en el ajuste gráfico, el ajuste de curvas se realiza matemáticamente. Tres métodos están disponibles para este propósito; el método de los momentos, el método de los mínimos cuadrados y el método de máxima verosimilitud. El último método proporciona las mejores estimaciones, pero generalmente es muy complicado para la aplicación práctica.
El método de mínimos cuadrados proporciona un mejor ajuste general que el método de los momentos e implica relativamente menos cálculos y, por lo tanto, se adopta comúnmente.
A continuación se describe un breve resumen del principio de mínimos cuadrados y un procedimiento para ajustar la distribución de Gumbel utilizando este principio:
En la Fig. 5.10 para un valor dado de x, digamos x 1, habrá una diferencia entre el valor de y 1 y el valor correspondiente como se determina a partir de Y la curva. Esta diferencia (indicada como D en la figura) o la salida puede ser positiva, negativa o cero.
La suma de los cuadrados de las salidas proporciona una medida de la bondad de ajuste de la curva a los datos dados. Si esto es pequeño, el ajuste es bueno y si es grande es malo. La línea de mínimos cuadrados que se aproxima al conjunto de puntos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), … .. (x n, y n ) tiene la ecuación y = A + Bx donde las constantes A y B se determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones
∑y = An + B∑x
y ∑xy = A∑x + B∑x
Que se llaman ecuaciones normales para la línea de mínimos cuadrados. De estas ecuaciones, las constantes A y B se pueden encontrar como
Las tablas 5.9 y 5.10 muestran los cálculos (utilizando los datos del problema 2) para ajustar la ley de Gumbel (adoptada por Ven Te Chow) según el método anterior. La ley se expresa como
y = A + B log 10 log 10 T / T - 1
Donde y es la inundación con un período de retorno T.
El procedimiento paso a paso adoptado se explica a continuación:
(i) Clasifique las inundaciones observadas (y) de la serie anual en orden descendente.
(ii) Calcule valores T para cada uno de los valores y utilizando una relación
T = n + 1 / m
(iii) Calcule los valores de x donde x = log 10 log 10 T / T - 1 para todas las veces.
(iv) Calcule el producto xy y x 2 para todos los artículos.
(v) Averigüe las sumas ∑x, ∑y, ∑x 2 y xy y sustituya estos valores en las ecuaciones normales para obtener los parámetros A y B de la línea de mínimos cuadrados.
(vi) Grafique la ecuación de línea ajustada en un papel de probabilidad de valor extremo después de calcular unos pocos valores de y para valores T seleccionados. Esta es la línea de frecuencia requerida.
(vii) Para juzgar la bondad de ajuste, los datos observados también se representan en el mismo papel. La Figura 5.9 muestra la mejor línea de ajuste y la gráfica observada en un papel de probabilidad de valor extremo.
