Análisis de frecuencia por el método de Gumbel: Principio y pasos
Lea este artículo para conocer los principios y pasos involucrados en el análisis de frecuencia mediante el método de Gumbel.
Principio de análisis de frecuencia:
El principio general del análisis de frecuencia se puede establecer a continuación:
Como método simple, se podrían calcular las frecuencias (o probabilidades), P (X ≥ x), de los picos de inundación observados. La curva de probabilidades frente a los picos de inundación (f V s . X) se traza luego en papel de probabilidad logarítmica y se ajusta una curva suave que cubre todos los puntos. Por extrapolación de la curva se pudieron obtener valores extremos.
Dado que los datos observados suelen ser cortos, puede que no representen a la población y, por lo tanto, no podemos mantener la confianza en la curva obtenida de los datos observados.
Ahora, considerando que los datos registrados constituyen una muestra aleatoria de su población matriz, podría ajustarse una distribución de frecuencia teórica adecuada para los datos.
Una vez que la distribución se ajusta correctamente a la extrapolación de datos observada para calcular las probabilidades requeridas, se puede hacer fácilmente.
El método de análisis de frecuencia de Gumbel se basa en la distribución de valores extremos y utiliza factores de frecuencia desarrollados para la distribución teórica. El método utiliza la ecuación general dada para el análisis de frecuencia hidrológica que se indica a continuación.
x = x + ∆x ... (0)
Donde x es la magnitud de la inundación de una probabilidad dada (P) o período de retorno (7)
x es la media de las inundaciones registradas
∆x es la salida de la variable de la media.
∆x depende de las características de dispersión, el intervalo de recurrencia (T) y otros parámetros estadísticos. Se puede expresar como
∆x = SK
donde S es la desviación estándar de la muestra y K es el factor de frecuencia Por lo tanto, la ecuación (i) anterior se puede expresar como
x = x + KS
La Tabla 5.6 proporciona valores derivados teóricamente del factor de frecuencia para varios tamaños de muestra y períodos de retorno.
Pasos involucrados en el análisis de frecuencia:
Varios pasos involucrados en el análisis de frecuencia por el método de Gumbel son los siguientes:
(i) Enumere y organice las inundaciones anuales (x) en orden descendente de magnitud.
(ii) Asigne el rango 'm', m = 1 para el valor más alto y así sucesivamente.
(iii) Calcule el período de retorno (T) y / o la probabilidad de excedencia (P) mediante las ecuaciones n + 1 / m y m / n +1 respectivamente. Estos valores junto con la respectiva magnitud de la inundación dan posiciones de trazado.
(iv) Usando la forma tabular, calcule x 2 y ∑x y Ex 2 .
(v) Ahora calcule la media x; media al cuadrado x 2 ; media de cuadrados x 2 y desviación estándar S.
(vi) De la Tabla 5.6 de factores de frecuencia para el método de Gumbel, lea los valores de los períodos de retorno deseados (7) y el tamaño de muestra disponible.
(vii) Usando la relación x = x + KS calcule los valores de inundación para varios períodos de retorno.
(viii) Utilizando el papel de probabilidad de valor extremo, trace los valores de x contra los respectivos períodos de retorno o valores de P y junte los puntos para obtener la curva de frecuencia requerida.
Problema:
La serie anual de inundaciones para un río está disponible por 21 años. Los picos de inundación observados son los que se indican a continuación. Calcule la inundación de 100 años utilizando el método de Gumbel y trace la curva de frecuencia teórica obtenida usando el factor de frecuencia y compárela con la curva de frecuencia de los datos observados.
Solución:
Siguiendo los pasos mencionados anteriormente, los datos de inundación se pueden organizar en orden descendente en la Tabla 5.7. El rango se puede asignar como se muestra en la columna 3 y T, P (X> x) y xP se puede calcular en las columnas posteriores.
Ahora, utilizando la ecuación x = x + KS y adoptando valores de x y S de arriba y diferentes valores de K y T de la Tabla 5.6, los flujos de inundación (es decir, los valores de x) de varios períodos de retorno se pueden calcular como se muestra en la Tabla 5.8.
De la Tabla 5.8, la inundación de 100 años es de 23, 397, dicen 23400 cumec. Usando papel de probabilidad de valor extremo (Fig. 5.9) los flujos de inundación (x valores) de la columna 6 de la Tabla 5.8 se trazan contra el período de retorno (T) de la columna 1 de la misma tabla. Los puntos trazados se unen para obtener una línea recta que se muestra firme en la figura 5.9.
Para comparar el ajuste de esta línea con los datos observados, en el mismo gráfico (valores x) los flujos de inundación observados de la columna 2 de la Tabla 5.7 se representan en función de los valores del período de retorno (T) de la columna 4 de la misma tabla. Se puede observar que, en general, los datos observados se ajustan satisfactoriamente a la curva de frecuencia. Por lo tanto, la distribución seleccionada es satisfactoria.
