Costillas del arco: Fuerzas y Momentos, Empuje y Corte

Después de leer este artículo, aprenderá acerca de: 1. Fuerzas y momentos en las costillas del arco 2. Empuje normal en cualquier sección de la costilla del arco 3. Cizalla radial 4. Líneas de influencia.

Fuerzas y momentos sobre costillas de arco:

yo. Efecto de la temperatura:

En la Fig. 13.8 se muestran un arco de dos bisagras y un arco atado, que representan el efecto del aumento de la temperatura en las costillas del arco. Debido al aumento de la temperatura, la nervadura ACB del arco tendrá un aumento de longitud de AC'B para el arco de dos bisagras y de AC'B 'para el arco atado.

El efecto de la temperatura en el caso de un arco de dos bisagras será diferente del de los arcos atados. En el caso de los primeros, dado que no hay desplazamiento de los soportes, el aumento de la longitud de la nervadura del arco ofrecerá empuje, H t, en los soportes y la corona del arco aumentará verticalmente de C a C '.

Sin embargo, en el último caso, el rodillo intentará permitir que el extremo libre B se mueva hacia B 'y, como tal, intentará liberar el empuje, pero la brida, por otro lado, intentará mantener el extremo B en posición hasta que se estire hasta tal punto que la fuerza de tracción en el empate sea igual al empuje del arco.

Esta fuerza para los arcos atados será menor que para los arcos articulados (tramo, subida, etc. de los dos arcos que permanecen iguales). Sin embargo, la tensión en la atadura es pequeña, la reducción de H, no será muy significativa y, como tal, para todos los propósitos prácticos, tanto la atadura como la nervadura del arco pueden diseñarse para H t incluso para los arcos atados.

Si, t, es el aumento de la temperatura y α, es el coeficiente de expansión, entonces el nervio ACB del arco aumentará en longitud a AC'B de modo que AC'B = ACB (1 + αt). Si L es el tramo del arco, se puede probar que el soporte B, si se mueve libremente debido al efecto de la temperatura, irá a B 'horizontalmente, de modo que BB' = Lαt.

Es decir, al evitar el movimiento de B, la expansión horizontal del arco que se evita es Lαt.

Si H t es el empuje horizontal debido a la prevención de la expansión del arco, el momento de flexión en un elemento del arco a una altura y desde el resorte viene dado por:

M = H t y (13.35)

Se sabe que el aumento horizontal en el tramo δL de un arco debido al momento de flexión viene dado por:

La sección transversal y, como tal, los momentos de inercia de una sección de arco varían desde el máximo en los pilares hasta el mínimo en la corona. Para propósitos de diseño, el momento de inercia de cualquier sección x puede tomarse como I = I C sec θ donde I C es el momento de inercia de la sección de corona y θ es la pendiente del arco.

Al sustituir ds = dx sec θ y I = I c Sec θ, la ecuación 13.37 se convierte en:

La contracción y el flujo de plástico del hormigón acortan la nervadura del arco y, como tal, H se convierte en un tirón de los pilares. La caída de la temperatura también causará un tirón y, por lo tanto, el efecto de la caída de la temperatura también se considerará junto con la contracción y el flujo de plástico del concreto para atender las peores condiciones.

ii. Acortamiento del arco:

Debido al acortamiento del arco, se reduce parte de la fuerza horizontal causada por la carga externa.

La fuerza horizontal debida a la carga externa viene dada por:

El valor reducido de H debido a la carga externa, incluido el efecto del acortamiento del arco, puede estar dado por la siguiente expresión:

Donde M 1 = B finaliza el momento en cualquier sección debido a las cargas externas, el arco se considera simplemente como viga soportada.

A = Área de sección transversal de la costilla del arco en cualquier punto.

E = Módulo de arco de hormigón joven.

Cuando E es constante para el mismo arco y ds = dx sec θ A = Ac Sec θ (aprox.) E I = I C sec θ, la ecuación 13.41 se convierte en:

Si se conoce H a, el momento M a, en cualquier sección del arco debido a una carga externa, incluido el efecto de acortamiento del arco, se puede evaluar a partir de la expresión que se indica a continuación:

M a = (M 1 - H a y) (13.43)

iii. Encogimiento y Flujo Plástico de Hormigón:

El efecto de la contracción de la costilla del arco es similar al debido a la caída de la temperatura. La tensión de contracción, Cs, puede, por lo tanto, reemplazar la tensión de temperatura, en la ecuación 13.39 para obtener la fuerza de H s debido a la contracción.

Con respecto al efecto del flujo de plástico del concreto, el valor de E puede modificarse a la mitad del valor instantáneo mientras se determinan las fuerzas y los momentos.

Al examinar las expresiones 13.39, 13.40, 13.42 y 13.44 para la evaluación de las fuerzas horizontales, se puede observar que solo la temperatura y la contracción se ven afectadas por el flujo de plástico del hormigón, ya que las expresiones relativas a estos efectos solo contienen el término E.

Ejemplo ilustrativo 1:

Un arco parabólico de dos bisagras de 40 m de tramo se carga con una carga de 120 KN en cada cuarto punto (Fig. 13.9). La subida del arco es de 5m. El momento de inercia de la costilla del arco varía según la secante de la pendiente del arco. Encuentre las fuerzas y los momentos considerando el efecto de la variación de la temperatura, el acortamiento del arco, la contracción y el flujo de plástico del concreto.

Dado:

a = 11.7 x 10 - 6 por grado centígrado, C s = 4 x 10 - 4, E = 31.2 x 10 4 Kg / cm 2, t = 18 ° C, A c = bxd = 30 x 150 cm = 4500 cm 2, I C = 8.5 x 10 6 cm 4 .

Solución:

De la ecuación 13.10, la ecuación de una costilla de arco parabólico es:

Integración del numerador:

Integración del denominador:

Momentos de flexión para cargas externas y empujes horizontales:

y en C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40 - 10) = 3.75m; y a D = 5.0m

. . . Momento en A = Momento en B = 0 (ya que el arco está articulado en A y B)

Momento en C = Momento en E = (M - Hy) = (V A x - Hy) = 180 x 10 - 455 x 3.75 = 93.75 KNm

Momento en D = V A x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20-10) - 455 x 5 = 125 KNm

Efecto de la temperatura:

La variación de la temperatura del efecto se toma como 2/3 de la variación de la temperatura real,

Acortamiento del arco:

De la ecuación 13.42, el valor de H que incluye el efecto de acortamiento del arco viene dado por:

Efecto de la contracción:

Coeficiente de contracción, C s = 4 x 10 - 4

Si la nervadura del arco se concreta en secciones para reducir la contracción, este valor puede tomarse como 50 por ciento de C s, es decir, 2 x 10 - 4 .

Efecto del flujo plástico:

El valor de E se puede tomar como la mitad al estimar la temperatura y el efecto de contracción. Por lo tanto, los valores de H t y H s pueden reducirse en un 50 por ciento considerando el flujo de plástico del concreto de la costilla del arco.

Resumen de Resultados:

(a) H debido a cargas externas = 455 KN (Empuje)

(b) H a considerando acortamiento del arco = 448.6 KN (Empuje)

(c) H t debido a la temperatura, incluido el flujo de plástico = 50% de 27.4 = ± 13.7 KN (Empuje o tracción)

(d) H s debido a la contracción, incluido el flujo de plástico = 50% de 39.0 = (-) 19.5 KN (tracción)

. . . Máximo H = 448.6 + 13.7 - 19.5 = 442.8 KN (empuje)

Mínimo H = 448.6 - 13.7 - 19.5 = 415.4 KN (empuje)

Momento de diseño en la costilla del arco en varias secciones:

Los momentos de flexión en varias secciones del arco se muestran en la Fig. 13.10. Cabe señalar que el empuje horizontal inducido en la costilla del arco ha reducido los momentos de flexión libre en casi un 87%.

Empuje normal en cualquier sección de la costilla del arco:

Para el diseño de cualquier sección de la costilla del arco, se debe conocer la magnitud del momento de flexión y el empuje normal. Los momentos de flexión para cargas muertas y otros efectos como la temperatura, el acortamiento del arco, el encogimiento, el flujo de plástico, etc. se pueden obtener como se describe anteriormente.

Los momentos de flexión para cargas vivas se pueden obtener mediante el uso de líneas de influencia. Por lo tanto, para obtener todas las fuerzas y momentos de diseño para cada sección crítica del arco, deben conocerse no solo los momentos de flexión sino también los empujes y las cizallas.

Ahora se explica el procedimiento. El empuje normal para cualquier sección X de la nervadura del arco a una distancia x de A y sometido a empuje horizontal, H y empuje vertical, V viene dado por P x = H cos θ + V sin θ.

Si hay una carga en movimiento W que actúa sobre el arco, entonces el empuje normal en una sección X (a una distancia x de A) viene dado por:

(a) Cuando la carga W está dentro de A a X:

P X = H A cosθ + V A sinθ - W sinθ

= H A cosθ - (W - V A ) sin = H A cos θ - V B sin θ (13.47)

(b) Cuando la carga está entre X y B:

P X = H A cosθ + V A sinθ (13.48)

Cizalla radial en la costilla del arco:

Para el diseño de cualquier sección, se conocerán los valores de momento de flexión, corte y empuje normal. El método de determinación de momento de flexión y empuje normal. En este artículo, se explica la evaluación de la cizalla radial.

Como en el empuje normal, si la carga móvil W está entre A y X, el corte radial SX en una sección viene dado por:

Líneas de influencia para la costilla del arco:

En los artículos anteriores, se discutió el procedimiento para la determinación de momentos, empuje y corte de cualquier sección para cargas estáticas. En el caso de los puentes, los vehículos que debe transportar el puente no son estáticos sino móviles, por lo que la evaluación del momento, el empuje y el cizallamiento deben realizarse con la ayuda de líneas de influencia. Método de dibujo de líneas de influencia para dos arcos parabólicos articulados.

Líneas de influencia para arcos parabólicos de dos articulaciones:

Líneas de influencia para empujes horizontales en contrafuertes:

El empuje horizontal en un arco de dos bisagras que lleva una unidad de carga concentrada en P a una distancia de 'a' desde el origen viene dado por,

El diagrama de líneas de influencia completo para el empuje, H se muestra en la Fig. 13.12b. El coeficiente para las ordenadas del diagrama de la línea de influencia para varios valores de 'a' se dan en la Tabla 13.1.

Nota:

(a) Las ordenadas para el diagrama IL = coeficiente x L / r.

(b) El empuje debido a una carga concentrada W = ordenada x W.

(c) El empuje debido a una carga distribuida, ω / m = Área de inf. línea diag x ω.

Diagrama de la línea de influencia para el momento de flexión en una sección X:

El diagrama de líneas de influencia para el momento en X (diagrama generalizado) se muestra en la Fig. 13.13a y lo mismo en x = 0.25L yx = 0.5L (es decir, en la corona) se muestran en la Fig. 13.13b, los coeficientes de ordenadas para los momentos en varias secciones (es decir, x = 0, 0.1L, 0.2L, etc.) para varias posiciones de carga (es decir, a = 0, 0.1L, 0.2L, etc.) se muestran en la Tabla 13.2.

Las ordenadas para el diagrama de la línea de influencia se obtendrán multiplicando los coeficientes con L. El momento M X para una carga concentrada W = coeficiente x WL.

Diagrama de la línea de influencia para el empuje normal en la sección X:

El empuje normal en cualquier sección X se obtiene utilizando la ecuación 13.47 o 13.48, es decir, P X = H A cos θ - V B sin θ o H A cos θ + V A sinθ, según si la carga está a la izquierda o a la derecha de la sección X respectivamente.

Las líneas de influencia para V A sin θ y V B sin θ son dos líneas paralelas que tienen ordenadas finales iguales a sin θ ya que V A o V B para la unidad de carga en movimiento en los extremos se convierte en unidad. La línea de influencia para H cos θ es cos θ veces la línea de influencia para H como se obtuvo anteriormente. El diagrama de líneas de influencia para P X se muestra en la Fig. 13.14a.

Diagrama de la línea de influencia para el corte radial en X:

El corte radial en X viene dado por la ecuación S X = H A sinθ + V B cosθ o H A sinθ - V A cosθ dependiendo de si la unidad de carga está a la izquierda o a la derecha de la sección X.

Las líneas de influencia para V A cosθ y V B cosθ son dos líneas paralelas que tienen ordenadas finales iguales a cosθ con la unidad de carga móvil. La línea de influencia para H sinθ es sinθ veces la línea de influencia para H como se obtuvo anteriormente. El diagrama de líneas de influencia final para el corte radial en X se muestra en la Fig. 13.14b.

Diagrama de líneas de influencia para arcos de tres bisagras y arcos fijos:

Los diagramas de líneas de influencia para empujes en pilares, momentos, empujes normales y corte radial en una sección X para tres arcos articulados y arcos fijos pueden dibujarse de la misma manera que se explica en el caso de los arcos de dos bisagras.

Sin embargo, para una referencia rápida, los diagramas de líneas de influencia para el empuje horizontal, H y para el momento en la sección X para un arco parabólico de tres articulaciones se muestran en la figura 13.15 y los de un arco parabólico fijo se muestran en la figura 13.16.

Los diagramas de líneas de influencia para los momentos en las secciones x = 0.2L yx = 0.4L para el arco de tres articulaciones y en las secciones x = 0.2L yx = 0.5L para los arcos parabólicos fijos se muestran en la Fig. 13.17a y 13.17b respectivamente. Los coeficientes para ordenadas de empuje, H y momentos en varias secciones, tanto para arcos parabólicos fijos como con bisagras de tres, se muestran en la Tabla 13.3, 13.4, 13.5 y 13.6.

Nota:

(a) El diagrama de línea de ordenada para influencia = coeficiente x L / r.

(b) El empuje debido a una carga concentrada, W = ordenada x W.

(c) El empuje debido a una carga distribuida, ω / m = Área de Inf. L. diag. x ω.

Nota:

(a) La ordenada del diagrama IL = coeficiente x L / r.

(b) El empuje, H para una carga puntual, W = co-eff. x WL / r = ordenada x W.

(c) El empuje, H para una carga distribuida, ω / m = Área de influencia diag. x ω.

El uso de los coeficientes de la línea de influencia en la evaluación de empuje y momentos con cargas estáticas:

Los diagramas de líneas de influencia se utilizan para evaluar el empuje horizontal máximo, el momento, etc., para mover cargas. Estos diagramas y tablas de líneas de influencia también se pueden usar para determinar el empuje, el momento, etc., para cualquier carga estática también.

Ejemplo ilustrativo 2:

Evalúe el empuje y los momentos para el arco parabólico como se muestra en el Ejemplo ilustrativo 13.2 y la Fig. 13.9, mediante el uso de diagramas de líneas de influencia y coeficientes.

Solución:

De la Tabla 13.1, los coeficientes de empuje para la carga unitaria a 0.25L, 0.5L y 0.75.L son 0.1392, 0.1953 y 0.1392 respectivamente.

Empuje según lo determinado previamente = 455 KN. Por lo tanto, el valor obtenido por el uso de coeficientes de línea de influencia coincide con el valor anterior calculado por el uso de fórmulas.

Los coeficientes para los momentos en C (x = 0.25L), D (x = 0.5L) y E (x = 0.75L) para las cargas en C (a = 0.25L), D (a = 0.5L) y E (a = 0.75L) son los siguientes:

Coeficientes en C o E (es decir, en 0.25L o 0.75L):

Coeficientes en D (ieat 0.5L):

Por lo tanto, los valores obtenidos por el uso del coeficiente de la línea de influencia concuerdan con los de la fórmula. La pequeña variación se debe a los coeficientes aproximados (hasta tres lugares de decimales) utilizados en la tabla. Aunque aproximado, el método mediante el uso de coeficientes de línea de influencia es muy rápido y, como tal, tiene alguna ventaja sobre el método utilizado anteriormente.